"Sonsuza kadar ve ötesine!"
Buzz Lightyear'ın "Oyuncak Hikayesi" filmlerindeki ünlü sloganını derinden düşündünüz mü? Muhtemelen değil. Ama belki de bazen gece gökyüzüne baktınız ve sonsuzluğun doğasını merak ettiniz.
Sonsuzluk tuhaf bir kavramdır, insan beyninin sınırlı anlayışını sarmakta zorlandığı bir kavramdır. Evrenin sonsuz olabileceğini söylüyoruz, ama gerçekten sonsuza kadar devam edebilir mi? Veya ondalık basamaktan sonraki pi basamakları - gerçekten sonsuz bir şekilde çalışıyorlar mı? Ve Buzz doğru olabilir mi? Sonsuzluğun ötesinde bir şey var mı?
Akıllara durgunluk veren bu spekülasyonlar ile başa çıkmak için, Canlı Bilim Philadelphia'daki Pennsylvania Üniversitesi'nden matematikçi Henry Towsner'ın yardımına katıldı. (Dikkate alın: bu zor olacak.)
Towsner, Infinity'in garip bir yerde oturduğunu söyledi: Çoğu insan kavram hakkında bir sezgiye sahip olduklarını hissediyor, ancak ne kadar çok düşünürlerse, garip oluyor.
Matematikçiler ise, sonsuzluğu sık sık kendi başına bir kavram olarak düşünmüyorlar. Aksine, birçok açıdan ele almak için bunu düşünmek için farklı yollar kullanırlar.
Örneğin, farklı boyutlarda sonsuzluk vardır. İskoçya'daki St Andrews Üniversitesi'nden bir tarihe göre, bu durum 1800'lerin sonlarında Alman matematikçi Georg Cantor tarafından kanıtlandı.
Cantor, doğal sayıların, yani 1, 4, 27, 56 ve 15,687 gibi pozitif sayıların sonsuza dek sürdüğünü biliyordu. Onlar sonsuzdur ve aynı zamanda şeyleri saymak için kullandığımız şeydir, bu yüzden tarih, matematik ve eğitim karikatüristi Charles Fisher Cooper'ın diğer konuları üzerine yararlı bir siteye göre onları "saygıyla sonsuz" olarak tanımladı.
Sayıca sonsuz sayıdaki grupların bazı ilginç özellikleri vardır. Örneğin, çift sayılar (2, 4, 6, vb.) Aynı zamanda sınırsız olarak sonsuzdur. Ve teknik olarak, doğal sayıların tamamı tarafından kapsananların yarısı kadar teknik olsa da, yine de sonsuzdur.
Diğer bir deyişle, tüm çift sayıları ve tüm doğal sayıları iki sütuna yan yana yerleştirebilirsiniz ve her iki sütun da sonsuza gider, ancak bunlar sonsuzluğun aynı "uzunluğudur". Bu sayılabilir sonsuzluğun yarısının hala sonsuz olduğu anlamına gelir.
Ancak Cantor'un büyük görüşü, sayılamayacak kadar sınırsız olan başka sayı kümelerinin olduğunu anlamaktı. Doğal sayılar, pi kesirleri ve irrasyonel sayılar içeren gerçek sayılar, doğal sayılardan daha sınırsızdır. (Cantor'un bunu nasıl yaptığını bilmek ve bazı matematiksel gösterimlerle başa çıkmak istiyorsanız, bu çalışma sayfasını Maine Üniversitesi'nden kontrol edebilirsiniz.)
Tüm doğal sayıları ve tüm gerçek sayıları iki sütunda yan yana sıralayacak olsaydınız, gerçek sayılar doğal sayıların sonsuzluğunun ötesine uzanırdı. Cooper'a göre Cantor daha sonra muhtemelen sonsuzluk konusundaki çalışmalarıyla ilgisiz nedenlerden dolayı delirdi.
Sayım nedir?
Yani, sonsuzluğu sayma sorununa geri dönelim. Towsner, “Matematiğin size sormasını sağlayan şey, 'Bu gerçekten ne anlama geliyor?' Dedi. "Geçmiş sonsuzluğu sayarak ne demek istiyorsun?"
Konuyu ele almak için Towsner sıra sayıları hakkında konuştu. Bir kümede kaç şeyin olduğunu söyleyen kardinal sayıların (1, 2, 3 vb.) Aksine, sıra sayıları konumlarına göre (birinci, ikinci, üçüncü vb.) Tanımlanır ve ayrıca Cantor, matematik web sitesine göre Wolfram MathWorld.
Sıra sayılarında Yunanca harf den ile gösterilen omega adı verilen bir kavram var, dedi Towsner. Ω sembolü, diğer tüm doğal sayılardan sonra gelen şey olarak tanımlanır - ya da Cantor'ın dediği gibi, ilk sınırsız sıra.
Ama rakamlarla ilgili şeylerden biri, sonunda her zaman başka bir tane ekleyebilmenizdir, dedi Towsner. Yani ω + 1 ve ω + 2 ve hatta ω + ω gibi bir şey var. (Merak ediyorsanız, nihayetinde ilk sayılamayan ordinal olarak bilinen ω1 adlı bir sayıya çarpmış olursunuz.)
Sayma ek sayılar eklemek gibi bir şey olduğundan, bu kavramlar bir şekilde geçmiş sonsuzluğu saymanıza izin veriyor, dedi Towsner.
Tüm bunların tuhaflığı, matematikçilerin terimlerini titizlikle tanımlamakta ısrar etmelerinin bir nedeni olduğunu da sözlerine ekledi. Her şey yolunda olmadığı sürece, normal insan sezgimizi matematiksel olarak kanıtlanabilecek şeylerden ayırmak zordur.
Towsner, “Matematik size, 'İçten içe derinlemesine, neyin önemli olduğunu?' Söylüyor.
Bizim için sadece ölümlüler olarak, bu fikirlerin tam olarak hesaplanması zor olabilir. Çalışan matematikçiler bu komik işlerle günlük araştırmalarında tam olarak nasıl ilgileniyorlar?
"Birçoğu pratiktir," dedi Towsner. “Maruz kalma ile yeni sezgiler geliştiriyorsunuz ve sezgi başarısız olduğunda, 'Bu tam adım adım titiz kanıttan bahsediyoruz' diyebilirsiniz. Dolayısıyla bu kanıt şaşırtıcıysa, bunun doğru olup olmadığını kontrol edebilir ve ardından bunun etrafında yeni bir sezgi geliştirmeyi öğrenebiliriz. "
