Bir matematik ekibi 160 yıllık, milyon dolarlık bir matematik sorusunu cevaplamaya doğru büyük bir adım attı mı?
Olabilir. Mürettebat, sayı teorisi adı verilen bir alanda başka küçük soruları çözdü. Ve bunu yaparken, sonunda eski soruya cevap verebilecek eski bir caddeyi yeniden açtılar: Riemann hipotezi doğru mu?
Reimann hipotezi, matematiğin geri kalanı için büyük etkileri olan temel bir matematiksel varsayımdır. Diğer birçok matematiksel düşüncenin temelini oluşturur - ancak kimse bunun doğru olup olmadığını bilmez. Geçerliliği matematikteki en ünlü açık sorulardan biri haline gelmiştir. 2000 yılında ortaya konan yedi "Binyıl Problemi" nden biri, onları çözenlerin 1 milyon dolar kazanacağı vaadiyle. (O zamandan beri sorunlardan sadece biri çözüldü.)
Bu fikir nereden geldi?
1859'da Bernhard Riemann adlı bir Alman matematikçi özellikle dikenli bir matematik denklemine bir cevap önerdi. Hipotezi şu şekildedir: Riemann zeta fonksiyonunun önemsiz her sıfırının gerçek kısmı 1/2. Bu oldukça soyut bir matematiksel ifadedir, bu işlevi sıfıra eşit yapmak için belirli bir matematiksel işleve hangi sayıları koyabileceğinizle ilgilidir. Ancak, en önemlisi sonsuza kadar sayılırken asal sayılarla ne sıklıkta karşılaşacağınıza ilişkin sorularla ilgili çok önemli.
Daha sonra hipotezin ayrıntılarına geri döneceğiz. Ancak şimdi bilinmesi gereken önemli şey, Riemann hipotezi doğruysa, matematikte birçok soruya cevap vermesidir.
"Bu yüzden sık sık sayı teorisinde, sonuçta ortaya çıkan şey, Riemann hipotezini varsayarsanız, o zaman her türlü başka sonucu kanıtlayabilirsiniz," Ohio'daki Oberlin College'da yer alan bir sayı kuramcısı olan Lola Thompson bu son araştırmada, dedi.
Sık sık, Canlı Bilime, sayı teorisyenlerine önce Riemann hipotezi doğruysa bir şeyin doğru olduğunu kanıtlayacağını söyledi. Daha sonra bu kanıtı, daha karmaşık bir kanıta doğru bir tür basamak taşı olarak kullanacaklar, bu da Riemann hipotezinin doğru olup olmadığını orijinal sonuçlarının doğru olduğunu gösteriyor.
Bu hilenin işe yaradığının, birçok matematikçiyi Riemann hipotezinin doğru olması gerektiğine ikna etti.
Ama gerçek şu ki, hiç kimse kesin olarak bilmiyor.
Bir ispat için küçük bir adım mı?
Peki bu küçük matematikçi ekibi bizi bir çözüme nasıl yaklaştırdı?
Emory Üniversitesi'nden bir sayı teorisyeni ve yeni ispatın ortak yazarı Ken Ono, "Makalemizde yaptıklarımız," Riemann hipotezine eşdeğer olan çok teknik bir kriteri yeniden gözden geçirmiş miyiz ... Bu kriterin büyük bir kısmını kanıtladık. "
Bu durumda "Riemann hipotezine eşdeğer olan bir kriter", Riemann hipotezine matematiksel olarak eşdeğer olan ayrı bir ifadeyi ifade eder.
İlk bakışta iki ifadenin neden bu kadar bağlantılı olduğu açık değildir. (Bu kriter, "Jensen polinomlarının hiperbolisitesi" olarak adlandırılan bir şeyle ilgilidir.) 1920'lerde George Pólya adlı bir Macar matematikçi, bu kriter doğruysa Riemann hipotezinin doğru olduğunu kanıtladı. Bu, hipotezi kanıtlamak için eski bir önerilen yol, ancak büyük ölçüde terk edilmiş bir rota.
Ono ve meslektaşları, 21 Mayıs Doğa Bilimler Akademisi Bildirileri (PNAS) dergisinde yayınlanan bir makalede, birçok durumda birçok kriterin doğru olduğunu kanıtladılar.
Ancak matematikte, birçoğu kanıt olarak saymak için yeterli değildir. Hala kriterin doğru mu yanlış mı olduğunu bilmedikleri bazı durumlar var.
"Bu bir milyon numaralı Powerball oynamak gibi," dedi Ono. "Ve son 20 dışındaki tüm sayıları biliyorsun. Eğer son 20 sayıdan biri bile yanlışsa, kaybedersin.… Hala hepsi ayrılabilirdi."
Araştırmacıların, ölçütün tüm durumlarda geçerli olduğunu göstermek için daha gelişmiş bir kanıt bulmaları ve böylece Riemann hipotezini kanıtlamaları gerekecektir. Ve böyle bir kanıtın ne kadar uzakta olduğu açık değil, dedi Ono.
Peki, bu makale ne kadar büyük bir anlaşma?
Riemann hipotezi açısından, bunun ne kadar büyük bir anlaşma olduğunu söylemek zor. Daha sonra ne olacağına çok bağlı.
Thompson, "Bu, Riemann hipotezinin birçok eşdeğer formülasyonundan sadece biri." Dedi.
Başka bir deyişle, bu kriter gibi, Riemann hipotezinin kendilerinin kanıtlanmış olması durumunda doğru olduğunu kanıtlayacak başka birçok fikir vardır.
“Yani, bunun ne kadar ilerleme olduğunu bilmek gerçekten zor, çünkü bir yandan bu yönde ilerleme kaydedildi. Ama, belki de bu yönde Riemann hipotezini vermeyecek çok fazla eşdeğer formülasyon var. bunun yerine diğer eşdeğer teoremler, eğer bunlardan birini ispatlayabilirse, "dedi Thompson.
Kanıt bu yol boyunca ortaya çıkarsa, bu muhtemelen Ono ve meslektaşlarının Riemann hipotezini çözmek için altta yatan önemli bir çerçeve geliştirdikleri anlamına gelecektir. Ancak başka bir yerde ortaya çıkarsa, bu makalenin daha az önemli olduğu ortaya çıkacaktır.
Yine de matematikçiler etkilendiler.
Ekibin araştırmasına dahil olmayan Princeton sayı kuramcısı Encrico Bombieri, 23 Mayıs tarihli PNAS makalesinde, "Bu, Riemann hipotezini kanıtlamaktan uzak olsa da, ileriye doğru büyük bir adımdır." "Bu makalenin matematik teorisinin yanı sıra sayı teorisinin diğer alanlarında da daha fazla temel çalışmaya ilham vereceğinden şüphe yok."
(Bombieri, 1974'te büyük ölçüde Riemann hipotezi ile ilgili çalışmalar için bir alan madalyası kazandı - matematiğin en prestijli ödülü -.
Riemann hipotezi zaten ne anlama geliyor?
Buna geri döneceğimize söz verdim. İşte yine Riemann hipotezi: Riemann zeta işlevinin önemsiz olmayan her sıfırının gerçek kısmı 1/2.
Bunu Thompson ve Ono'nun anlattıklarına göre yıkalım.
İlk olarak, Riemann zeta işlevi nedir?
Matematikte fonksiyon, farklı matematiksel büyüklükler arasındaki ilişkidir. Basit olan şöyle görünebilir: y = 2x.
Riemann zeta işlevi aynı temel ilkeleri izler. Sadece çok daha karmaşık. İşte böyle görünüyor.
Sonsuz bir dizinin toplamıdır, burada her terim - ilk birkaç tanesi 1/1 ^ s, 1/2 ^ s ve 1/3 ^ s'dir - önceki terimlere eklenir. Bu elipsler, işlevdeki dizinin sonsuza dek böyle devam ettiği anlamına gelir.
Şimdi ikinci soruya cevap verebiliriz: Riemann zeta fonksiyonunun sıfır değeri nedir?
Bu daha kolay. İşlevin "sıfır" değeri, işlevin sıfıra eşit olmasına neden olan x için koyabileceğiniz herhangi bir sayıdır.
Sonraki soru: Bu sıfırlardan birinin "gerçek kısmı" nedir ve 1/2'e eşit olması ne anlama gelir?
Riemann zeta işlevi matematikçilerin “karmaşık sayılar” dediği şeyi içerir. Karmaşık bir sayı şöyle görünür: a + b * i.
Bu denklemde, "a" ve "b" herhangi bir gerçek sayıyı ifade eder. Gerçek sayı eksi 3'ten sıfıra, 4.9234, pi veya 1 milyar'a kadar herhangi bir şey olabilir. Ama başka bir sayı daha var: hayali sayılar. Negatif bir sayının karekökünü aldığınızda hayali sayılar ortaya çıkar ve bunlar her türlü matematiksel bağlamda ortaya çıkar.
En basit sanal sayı, "i" olarak yazılan -1'in kare köküdür. Karmaşık bir sayı, gerçek bir sayı ("a") artı başka bir gerçek sayı ("b") çarpı i'dir. Karmaşık bir sayının "gerçek kısmı" "a" dır.
Riemann zeta işlevinin birkaç sıfırı, -10 ile 0 arasında negatif tamsayılar, Reimann hipotezi için sayılmaz. Bunlar "önemsiz" sıfırlar olarak kabul edilir, çünkü karmaşık sayılar değil, gerçek sayılardır. Diğer tüm sıfırlar "önemsiz değil" ve karmaşık sayılardır.
Riemann hipotezi, Riemann zeta fonksiyonu sıfırı geçtiğinde (-10 ve 0 arasındaki sıfırlar hariç), karmaşık sayının gerçek kısmının 1/2'ye eşit olması gerektiğini belirtir.
Bu küçük iddia çok önemli gelmeyebilir. Ama bu. Ve bunu çözmek için biraz daha genç olabiliriz.
